Trong bài viết hôm nay thì bạn sẽ cùng với minh đi tìm hiểu cách làm bài tập tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm f. Mời các bạn xem chi tiết phần hướng dẫn bên dưới đây.
Cách làm bài tập tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Tóm tắt lý thuyết:
Cho ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của: f(x,y) = x2 – 2xy + 2y trong miền D = [0,3] x [0,2] = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2}.
Bước 1: Tìm những điểm dừng P của f và tính f(P)
(1) Tìm điểm dừng P thỏa:
f‘x = 0 <=> 2x – 2y = 0 <=> y = 1
f‘y = 0 <=> -2x + 2 = 0 <=> x = 1
=> P(1,1) ∈ D => f(P) = x2 – 2xy + 2y = f(1,1) = 12 – 2.1.1 + 2.1 = 1
Bước 2: Xét trên biên ∂D của miền D qua 2 mục sau:
(a) Tìm điểm M trên ∂D có đạo hàm triệt tiêu.(Đạo hàm triệt tiêu là đạo hàm = 0) và Tính f(M)
(2) Xét trên biên:
L1 (x = 0, 0 ≤ y ≤ 2): f(0,y) = x2 – 2xy + 2y = 0 – 0 + 2y = 2y
a) Xét f‘y(0,y) = 2 ≠ 0 (loại)
L2 (x = 3, 0 ≤ y ≤ 2): f(3,y) = 32 – 2.3.y + 2y = 9 – 4y
a) Xét f‘y(3,y) = -4 ≠ 0 (loại)
L3 (0 ≤ x ≤ 3, y = 0): f(x,0) = x2 – 2x.0 + 2.0 = x2
a) Xét f‘x(x,0) = 2x = 0 <=> x = 0 (Nhận)
=> M1(0,0) ∈ D => f(0,0) = 0
L4 (0 ≤ x ≤ 3, y = 2): f(x,2) = x2 – 2x.2 + 2.2 = x2 – 4x + 4
a) Xét f‘x(x,2) = 2x – 4 = 0 <=> x = 2 (Nhận)
=> M2(2,2) ∈ D => f(2,2) = 0
(b) Xét điểm mút A của ∂D. Tínhf(A).
Điểm mút:
b) A1(0,0) = M1 và A2(0,2) => f(0,2) = 02 – 2.0.2 + 2.2 = 4
b) A3(3,0) => f(3,0) = 32 – 2.3.0 + 2.0 = 9 và A4(3,2) => f(3,2) = 32 – 2.3.2 + 2.2 = 1
Bước 3: Từ b1 và b2 ta có thể kết luận như sau:
Vậy fmax = 9 tại A3(3,0) và fmin = 0 tại M1(0,0), M2(2,2).
